三元立方和最值問題是數(shù)學(xué)高考和競(jìng)賽中比較常見的問題,但是絕大都數(shù)是限定在一個(gè)凸性一致的區(qū)間,比如利用琴生不等式來解決問題[1-2],對(duì)于不限定在一個(gè)凸性一致的區(qū)間的問題甚少有文章研究.本文主要研究《數(shù)學(xué)通報(bào)》的問題2530 的一般化,解決了三元立方和在一個(gè)非凸性一致區(qū)間的最大值問題.

問題 (《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年2 月號(hào)問題2530[3])已知a,b,c ∈[ 2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3 的最大值.

供題人張?jiān)迫A構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)(x 2)(x+1)2=x3 3x 2,作者利用這個(gè)函數(shù)恒不大于0,得到a3+b3+c3 ≤3(a+b+c)+6=6,最終指出a,b,c 中有1 個(gè)2 和2 個(gè) 1時(shí)取得最大值[3].我們注意到這種方法的局限性強(qiáng),它只適合于a+b+c 的和為某些定值的情形,當(dāng)我們將興趣轉(zhuǎn)到a+b+c 的和為變化的值時(shí),這種方法將無(wú)法解決問題.下面我們用磨光變換法將原題推廣到a+b+c=p( 6

引理1 對(duì)于任意a ≤ x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 ≤b,x1 + x4= x2 + x3,若f(x)在[a,b]為下凸函數(shù),均有f(x1)+ f(x4)≥f(x2)+ f(x3),等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=x4.

本文研究了三元立方和在一個(gè)非凸性一致區(qū)間的最大值,研究過程可作為更多非凸性一致區(qū)間最值問題提供參考,結(jié)論也可改編成競(jìng)賽題.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)通報(bào) 解決問題 當(dāng)且僅當(dāng)